高中数学
集合、逻辑
- 常见集合
- 空集 $\emptyset$
- 自然数集 $N$
- 正整数集 $N^+, N^\ast$
- 整数集 $Z$
- 有理数集 $Q$
- 实数集 $R$
- 复数集 $C$
- 逻辑集合
- 子集
- $A\subseteq B$
- $A\nsubseteq B$
- $\emptyset\subseteq A$
- n个元素有$2^n$个子集
- 真子集
- $A⊊B$
- $∅⊈A$
- n个元素有$2^n-1$个子集
- 集合相等 $A=B$
- 交集
- $A\cap B=B\cap A$
- $A\cap A=A$
- $\emptyset\cap A=\emptyset$
- 并集
- $A\cup B=B\cup A$
- $A\cup A=A$
- $\emptyset\cup A=A$
- 全集 U
- 补集
- $\complement_UA\cup A=U$
- $\complement_UA\cap A=\emptyset$
- $\complement_U\left(\complement_UA\right)=A$
- 推出
- $p\Rightarrow q$
- p是q的充分条件，q是p的必要条件
- $p\Leftrightarrow q$
- p是q的充要条件
- $p\Rightarrow q$
- 全称量词 $\forall x\in M,p\left(x\right)$
- 存在量词 $\exists x\in M,p\left(x\right)$
- 子集
- 逻辑
- $\land$ 与
- $\vee$ 或
- $\bigoplus$ 异或
- $\lnot$ 非
虚数
- $z=a+bi$
- 实数：$a\in R\ ,b=0$
- 复数：$a\neq0\ ,b\neq0$
- 纯虚数：$a=0\ ,b\neq0$
- 共轭复数：$\bar{z}=a-bi$
- 倒数：$z^\prime=\frac{1}{a-bi}$
- $\left|z\right|=\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$
- $i^2=-1$
立体几何
- S球=$4πR^2$
- V球=$\frac{4}{3}πR^3$
数列
- 等差数列
- $a_n=a_1+\left(n-1\right)d$
- $S_n={na}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}$
- $m+n=p+q\Rightarrow a_m+a_n=a_p+a_q$
- 等差常数列
- $d=0\ a_n=a_1$
- $S_n={na}_1$
- 等比数列
- $a_n=a_1q^{n-1}$
- $S_n=\frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$
- $m+n=p+q\Longrightarrow a_ma_n=a_pa_q$
- 等比常数列
- $q=1, a_n=a_1$
- $S_n={na}_1$
- 分数裂项
- $\frac{1}{n\left(n+k\right)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$
- $\frac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt n}=\frac{1}{k}\left(\sqrt{n+k}-\sqrt n\right)$
- 数列求和：
- 分组求和
- 错位相减
- 构造辅助数列
- 同时乘除，构造n和n-1
- $S_n-S_{n-1}=a_n$
不等式
- 原理：$\left(a-b\right)^2\geq0$
- 结论：$a+b\geq2\sqrt{ab}$
- 直接代换（$a=a^2,b=b^2$）：$ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$
- 平方代换：$ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}$
函数
- 定义域优先
- 单调性：
- $\Delta x=x_2-x_1 ,\Delta y=y_2-y_1=f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$
- 复合函数单调性：同增异减
- 单调区间之间用“,”连接
- 零点：
- $f\left(x_0\right)=0$ ,$x_0$为零点 （$f\left(x\right)$穿过x轴，$x_0$为变号零点）
- 零点存在性定理：有$y=f\left(x\right)\ x\in\left[a,b\right]$且$f(a)f(b)<0$ 则有$\ x_0\in\left[a,b\right]$使$f\left(x_0\right)=0$
- 奇偶性（定义域对称）
- 奇函数：$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ 关于原点对称（若有$x_0=0$则$f\left(x_0\right)=0$）
- 偶函数：$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ 关于y轴对称
- 对称性：（自变量（$x_1,x_2$）相加为常数，关于$\frac{x_1+x_2}{2}$对称）
- 准奇函数：$f\left(b-x\right)=-f\left(a+x\right)$ 关于点$\left(\frac{a+b}{2},0\right)$对称
- 准偶函数：$f\left(b-x\right)=f\left(a+x\right)$ 关于轴$x=\frac{a+b}{2}$对称
- 周期性：（自变量（$x_1,x_2$）相减为常数，以$\left|x_1-x_2\right|$为周期，非最小正周期）
- 复合函数奇偶性判断：奇函数：-1 偶函数：1
基本几何函数
- 一次函数（斜率是否存在）
- y=kx+b
- 截距：$b$
- 零点：$-\frac{b}{k}$
- 平行：$k_1=k_2\ b_1\neq b_2$
- 重合：$k_1=k_2\ b_1=b_2$
- 垂直：$k_1k_2=-1$
- 互补：$k_1+k_2=0$
- $Ax+By+C=0\ (A^2+B^2\neq0)$
- 相交：$\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}\ (A_2B_2\neq0)$ 原：$A_1B_2-A_2B_1\neq0$
- 平行：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ \neq\frac{C_1}{C_2}\ (A_2B_2C_2\neq0)$ 原：$A_1B_2-A_2B_1=0\land(B_1C_2-B_2C_1\neq0\vee A_1C_2-A_2C_1\neq0)$
- 重合：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ (A_2B_2C_2\neq0)$ 原：$A_1=\lambda\ A_2\land B_1=\lambda\ B_2\land C_1=\lambda\ C_2\ (\lambda\neq0)$
- 垂直：$A_1A_2+B_1B_2=0$
- $y-y_0=k(x-x_0)$
- $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\ (x_1\neq x_2,y_1\neq y_2)$
- y=kx+b
- 二次函数（二次项系数是否为0）
- $y=ax^2+bx+c\ (a\neq0)$
- $y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
- $y=a\left(x-h\right)^2+k\ \left(h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$ 最值：k 对称轴：h
- 韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\ x_1x_2=\frac{c}{a}$
- 圆
- $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$
- 圆心：$\left(a,b\right)$
- 半径：r
- $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\ \left(D^2+E^2-4F>0\right)$
- $\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$
- 点到直线距离 $d=\frac{\left|Ax_1+By_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
基本初等函数
- 指数函数 $y=a^x\ (a>0,a\neq1,x\in R)$
- $a^0=1$
- $a^1=a$
- $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
- $a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}\ (a>0)$
- $a^na^m=a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\ (m>n,a\neq0)$
- $\left(a^n\right)^m=a^{nm}$
- $a^\frac{n}{m}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^n=\sqrt[m]{a^n}\ (a>0,n,m\in N^+)$
- $a^{-\frac{n}{m}}=\frac{1}{a^\frac{n}{m}}\ \left(a>0,n,m\in N^+\right)$
- 底数函数 $y=\log_a{x}\ (a>0,a\neq1,x>0)$
- $a^b=N\Leftrightarrow b=\log_a{N}$
- $a^{\log_a{N}}=N$
- $\log_a{NM\ =\log_a{N}+\log_a{M}}$
- $\log_a{\frac{N}{M}=\log_a{N}-\log_a{M}}$
- $\log_b{N}=\frac{\log_a{N}}{\log_a{b}}$ （换底公式）
- 幂函数 $y=x^a\ (a\in R)$ 必过点$\left(1,1\right)$
解析几何
- 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$
- 原点到焦点=$\left|c\right|$
- X轴上：原点到交点=$\left|a\right|$
- Y轴上：原点到交点=$\left|b\right|$
- $c^2=a^2-b^2$
- 离心率：$0<e<1$, $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$
- 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为定值2a
- 共焦点椭圆：$\frac{x^2}{a^2+\lambda}+\frac{y^2}{b^2+\lambda}=1$
- 等离心率椭圆：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\lambda$
- 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ (a^2>0,b^2>0)$
- 原点到焦点=$\left|c\right|$
- X轴上：原点到交点=$\left|a\right|$
- Y轴上：虚半轴=$\left|b\right|$
- $c^2=a^2+b^2$
- 离心率：$e>1 e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$
- 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为定值2a
- 渐近线：$y=\pm\frac{b}{a}x$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$
- 共焦点双曲线：$\frac{x^2}{a^2+\lambda}-\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1$
- 等离心率、共渐近线双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$
- 抛物线 $y^2=2px\ (p>0)$
- X轴上：原点到焦点=$\frac{p}{2}$ 原点到准线=$-\frac{p}{2}$
- 离心率：$e=1$
- 抛物线上任意一点到准线的距离与到焦点的距离相等
- $\left|AB\right|=\sqrt{1+\tan^2{\alpha}}\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{1+\tan^2{\alpha}}\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}$
向量
- 基本定理 a,b
- 向量相加：$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
- 向量相减：$\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{BA}$
- 向量平行（共线）：$a=\lambda\ b$
- 向量垂直：$a\bot b\Rightarrow a\cdot b=0$
- 基本定理数量积：$a\cdot b=\left|a\right|\left|b\right|cos\left
- $cos\left
- $\left|a\right|：a^2$
- $\left|a\right|^2：a^2=a\cdot a=\left|a\right|\left|a\right|cos0°$
- $\left|a+b\right|：\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\sqrt{a^2+2ab+b^2}$
- $cos\left
- 坐标运算 $a=\left(a_1,a_2\right)\ b=\left(b_1,b_2\right)$
- 向量相加：$a+b=\left(a_1+b_1,a_2+b_2\right)$
- 向量相减：$a-b=\left(a_1-b_1,a_2-b_2\right)$
- 向量平行：$\left(a_1,a_2\right)=\lambda\left(b_1,b_2\right)=\left({\lambda\ b}_1,{\lambda\ b}_2\right)$
- $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\Leftarrow a_1b_2=a_2b_1\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$
- 向量垂直：$a\bot b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$
- 坐标运算数量积：$a \cdot b=a_1b_1+a_2b_2=\sqrt{ {a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{ {b_1}^2+ {b_2}^2}cos\left
- $cosa,b：\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\left|a\right|\left|b\right|}\Leftrightarrow \frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
- $\left|a\right|：\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
- $\left|a\right|^2：a^2=a\cdot a=a_1^2+a_2^2$
- 性质：
- $\left(\lambda\ a\right)\cdot b=\lambda\left(a\cdot b\right)$
- $\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
- $\left(a+b\right)\cdot\lambda=a\cdot\lambda+b\cdot\lambda$
- $\left(\lambda+\mu\right)\cdot a=\lambda\ a+\mu\ a$
- $\lambda\left(\mu\ a\right)=\left(\lambda\mu\right)a$
- 推论：
- $\left|\lambda\ a\right|=\left|\lambda\right|\cdot\left|a\right|$
- $\left|a\cdot b\right|\le\left|a\right|\cdot\left|b\right|\ (\left|\cos{x}\right|\le1)$
- $\vec{OP}=\left(1-t\right)\vec{OA}+t\vec{OB}$
- $(t=\frac{\left|AP\right|}{\left|AB\right|})$
- 基向量：$e_1\ e_2$
- $\left|e_1\right|=\left|e_2\right|=1$
- $e_1\cdot e_2=\left|e_1\right|\left|e_2\right|cos90°=0$
- $ae_1=\left|a\right|cosa,e1$
- 直线与向量：
- 直线斜率$\ k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\sin{k}}{\cos{k}}\ \Rightarrow$向量 $\left(a1,a2\right)=\left(cosk,sink\right)$与直线平行
- 直线l：$Ax+By+c=0 ⇒ a=A,B⊥l,b=-B,A\parallel l$
- 三角与向量：
- $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{0}$
- 不一定成立：（原理：向量$\alpha$在直线l上的正投影=acosθ）
- $a\cdot b=b\cdot c\ \nRightarrow\ a=c$
- $\left(a\cdot b\right)\cdot c\ \nRightarrow\ a\cdot\left(b\cdot c\right)$
三角函数
- 弧度制
- $\alpha=\frac{l}{r}=n\cdotπ180°$
- $S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\alpha\ r^2=nπr2360°$
- 同角三角函数
- $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$
- $\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$
- 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限，左加右减）
- $\sin{-\alpha}=-\sin{\alpha}$
- $\cos{-\alpha}=\cos{\alpha}$
- $\tan{-\alpha}=-\tan{\alpha}$
- $\sin{\alpha}=\cos{\frac{\pi}{2}-\alpha}$
- $\frac{\alpha}{n}$的终边所在象限：
- 每个象限平均分成n份，从X轴逆时针开始依次循环标“1，2，3，4”，当α在x象限，标有x的区域则为$\frac{\alpha}{n}$所在象限
- 正弦函数 $y=\sin{x}\ (x\in R,y\in\left[-1,1\right])$
- 单调性：
- 在$\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right],k\in Z$上单调递增
- 在$\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right],k\in Z$上单调递减
- 最值：
- $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$ y有最小值-1
- $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$ y有最大值1
- 对称性：对称轴：$\frac{\pi}{2}+2\pi$ 对称中心：$\left(k\pi,0\right),k\in Z$
- 周期性：$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi$ 余弦函数 $y=\cos{x}=\sin{\frac{\pi}{2}+x}$
- 单调性：
- 正切函数 $y=\tan{x}\ (x\in R\land x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},y\in R)$
- 单调性：在$\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)$上单调递增
- 周期性：$T=\frac{\pi}{\left|\omega\right|}=\pi$
- 对称性：对称中心：$\left(\frac{k\pi}{2},0\right),k\in Z$
- 正弦型函数 $y=A\sin{\omega\ x+\varphi}\ \left(A\neq0,\omega>0,x\in R\right)$
- 恒等变换
- 原理式
- $\sin{\alpha\pm\beta=}\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}$
- $\cos{\alpha\pm\beta=}\cos{\alpha}\cos{\beta}\mp\sin{\alpha}\sin{\beta}$
- $\tan{\alpha\pm\beta=\frac{\tan{\alpha}\pm\tan{\beta}}{1\mp\tan{\alpha}\tan{\beta}}}$
- 正弦倍角式
- $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$
- 余弦倍角式（倍角→降幂→半角）
- $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1=1-2\sin^2{\alpha}$
- 正切倍角式
- $\tan{2\alpha=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}}$
- 原理式
- 辅助角公式
- $a\sin{\alpha}+b\cos{\alpha}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{\alpha+\varphi}\qquad \tan{\varphi}=\frac{b}{a}$
- 角的代换
- $\alpha=\left(\alpha+\beta\right)-\beta=\beta-\left(\beta-\alpha\right)$
- $2\alpha=\left(\alpha+\beta\right)+\left(\alpha-\beta\right)$
- $2\beta=\left(\alpha+\beta\right)-\left(\alpha-\beta\right)$
- “1”的代换
- $1=\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=tan45°=sin90°=cos0°$
- $sin\alpha+{\frac{\pi}{3}}<\sin{\frac{\pi}{3}}\Rightarrow\cos{\alpha}<0$
- $sin\alpha+{\frac{\pi}{3}}>\sin{\frac{\pi}{3}}\Rightarrow\cos{\alpha}>0$
- 三角形等式
- $\sin{A=}\sin{B+C} \cos{A}=-\cos{B+C} \tan{A=-}\tan{B+C} \frac{\tan{A}}{\tan{B}}=\frac{\sin{A}\cos{B}}{\cos{A}\sin{B}}$
- $\sin{2A}=\sin{2B}\Rightarrow A+B=\frac{\pi}{2}\vee A=B$
- 三角形不等式
- $\alpha+\beta>\frac{\pi}{2}\Rightarrow$
- $\frac{\pi}{2}>\alpha>\frac{\pi}{2}-\beta>0\Rightarrow$
- $1>\sin{\alpha}>\sin{\frac{\pi}{2}-\beta}>0\Rightarrow$
- $1>\sin{\alpha}>\cos{\beta}>0$
解三角形
- 正弦定理
- $\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=\frac{a+b}{\sin{A}+\sin{B}}=\frac{b+c}{\sin{B}+\sin{C}}=\frac{c+a}{\sin{C}+\sin{A}}=\frac{a+b+c}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}=k=2R$
- 边化角：
- $a=2R\sin{A}$
- $b=2R\sin{B}$
- $c=2R\sin{C}$
- 角化边：
- $\sin{A}=\frac{a}{2R}$
- $\sin{B}=\frac{b}{2R}$
- $\sin{C}=\frac{c}{2R}$
- $S=\frac{1}{2}absin{C}=\frac{1}{2}ac\sin{B}=\frac{1}{2}bc\sin{A}$
- 余弦定理
- $a^2{=b}^2+c^2-2bccos{A}$
- $b^2{=a}^2+c^2-2accos{B}$
- $c^2{=a}^2+b^2-2abcos{C}$
- $\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
- $\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$
- $\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
- 三角余弦与向量
- $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\left|AB\right|\left|AC\right|\frac{ {AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2\left|AB\right|\cdot\left|AC\right|}=\frac{ {AB}^2+{AC}^2-{BC}^2}{2}$
- $\angle C>90°\Rightarrow a^2+b^2<c^2$
微分
- 常见函数求导通式：
- $y=c\ y^\prime=0$
- $y=x^n\ y^\prime=nx^{n-1}$
- $y=a^x\ y^\prime=a^x\ln{a}\ (\left(e^x\right)^\prime=e^x)$
- $y=\log_a{x\ y^\prime=\frac{1}{x\ln{a}}\ (\left(\ln{x}\right)^\prime=\frac{1}{x})}$
- $y=\sin{x\ y^\prime=\cos{x}}$
- $y=\cos{x\ y^\prime=-\sin{x}}$
- 复合函数求导：
- $y=f\left(g\left(x\right)\right)\ 设u=gx,∴y=fu,∴y'=f'ug'x$
- 导数运算：
- $\left(f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right)^\prime=f^\prime\left(x\right)\pm g^\prime\left(x\right)$
- $\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)^\prime=f^\prime\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^\prime\left(x\right)$
- $\left(Cf\left(x\right)\right)^\prime=Cf^\prime\left(x\right)$
- $\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)^\prime=\frac{g\left(x\right)f^\prime\left(x\right)-g^\prime\left(x\right)f\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}$
- 特殊函数： $\frac{1}{2}x^2$ $\frac{1}{3}x^3$
- 构造辅助函数解不等式：
- 移项法
- 做差法
- 换元法
- 条件特征：
- $f^\prime\left(x\right){\pm g}^\prime\left(x\right)\ >0\ ,h\left(x\right)=f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$
- $f^\prime\left(x\right)\pm m>0\ ,h\left(x\right)=f\left(x\right)\pm mx$
- $f^\prime\left(x\right){\pm g}^\prime\left(x\right)>0\ ,h\left(x\right)=f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$
- $f^\prime\left(x\right)+f\left(x\right)\ >0\ ,h\left(x\right)=e^xf\left(x\right)$
- $f^\prime\left(x\right)-f\left(x\right)>\ 0\ ,h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{e^x}$
- ${xf}^\prime\left(x\right)+f\left(x\right)\ >0\ ,h\left(x\right)=xf\left(x\right)$
- ${xf}^\prime\left(x\right)-f\left(x\right)>\ 0\ ,h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}$
概率
- 排列（前m项相乘）
- $A_n^m=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\ldots\left(n-m+1\right)=C_n^mA_m^m=\frac{n!}{\left(n-m\right)!}$
- $A_n^n=n!$
- 组合（前m项相乘÷后m项相乘）
- $C_n^m=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\ldots\left(n-m+1\right)}{m!}=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{\left(n-m\right)!}\cdot\frac{1}{m!}$
- $C_n^n=C_n^0=1$
- ${kC}n^k={nC}{n-1}^{k-1}$
- $C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$
- 二项式定理
- $\left(a+b\right)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^0+\ldots+C_n^{n-1}a^1a^{n-1}+C_n^na^0b^n\ \left(T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r\right)$
- $\left(1+1\right)^n=C_n^0+C_n^1+\ldots+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$
-
分布列
x x_1 … x_n p p_1 … p_n 各项正，和为1 -
超几何分布：n次不放回抽样
- 总量：N 某类数：M 任取数：n 变量：某类取得数m
- $p\left(x=m\right)=\frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$
- $E\left(x\right)$=任取数×概率=n×MN（变量无关）
- $D\left(x\right)=\sum{\left(x_n-E\left(x\right)\right)^2p_n}$
-
二点分布
x 1 0 p p q=1-p -
二项分布 $x~B\left(n,p\right)$：n次独立重复实验，n次放回抽样
- 单次概率：p 任取数：n 变量：某类取得数k
- $p\left(x=k\right)=C_n^kp^k\left(1-p\right)^{n-k}$
- $E\left(x\right)$=任取数×概率=n×p变量无关
- $D\left(x\right)=npq$
统计
- 频率分布直方图：样本估计总体
- 长方形的高=频率组距
- 长方形的面积=组距$\times$频率组距=频率
- 各长方形的面积和为1
- 正态分布：$N\left(\mu,\sigma^2\right)$
- 方差：$S^2=\sum_{a=1}^{n}\frac{\left(x_a-\bar{x}\right)^2}{n}$
- 独立性检验
- 3.841：95%
- 6.635：99%
- 回归分析：$n\bar{x}=\sum_{n=1}^{n}x_i$
- 变量相关关系
- 函数关系
- 相关关系：正相关、负相关
- 相关系数：$r\rightarrow 1$ 完全相关 r→0不相关